状态空间模型与状态反馈

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状态空间模型与状态反馈

上文提到的simulink模型是利用飞机的物理机理来进行建模的，拥有很多非线性环节，比如舵面偏度有范围限制、气动参数会根据迎角等发生变化、空气密度会根据高度发生变化等，这些非线性特性很好地描述了真实飞行中的情况，可以进行较为逼真的飞行模拟，这是这类模型的优点。它的缺点是建模复杂、计算量较大、对飞机特性描述得不清晰，可以进行实验验证却难以进行原理层面的分析，所以本文将介绍一种常用的简易模型，即状态空间模型。

状态空间模型

状态空间的形式为：

x是状态，包含飞机的一些参数，如速度、迎角等

u是输入，这里指飞机舵面输入

y是测量值，通常表示传感器对x进行测量后的值

A是状态矩阵，表示当前状态对未来状态的影响

B是输入（控制）矩阵，表示舵面输入对未来状态的影响

C是测量矩阵，表示传感器的特性

D表示输入对测量值的影响，一般不用，都设置为0矩阵

此外，有些状态空间方程会增加扰动项以计算扰动对未来状态和测量值的影响。

状态空间模型是利用小扰动假设，在飞机某个配平点，对飞机动力学特性进行线性化的结果。以我们建立的飞机模型为例，在空速16m/s，海拔高度100m配平飞机模型，即让其保持高度、速度不变且滚转角为0°的水平飞行。对这个状态点进行线性化，得到飞机纵向和横航向的状态空间模型：

纵向A矩阵
纵向B矩阵
横航向A矩阵
横航向B矩阵

纵向

与纵向A矩阵匹配的状态x是一个四维列向量，他表示的状态是

依次为：体轴系X向速度，体轴系Z向速度，俯仰角速度率，俯仰角。

纵向输入u是一个二维列向量，依次表示油门值和升降舵舵偏：

横航向

与横航向A矩阵匹配的状态x也是一个四维列向量，他表示的状态是

依次为：体轴系Y向速度，滚转角速率，偏航角速率，滚转角

横航向输入u是一个二维列向量，依次表示副翼舵偏和方向舵舵偏：

配平值

应该注意到以上所有值都添加了表示差值的三角符号，所以以上的角度、角速率、舵偏等都是基于平衡点配平状态的增量值，需要得到某参数真实值应把他的配平值与增量相加。该模型的配平值为

（油门值为百分比，范围0~1。所有角度、角速率使用弧度单位）

举个例子：

飞机在海拔100m高度以16m/s进行水平飞行时，其俯仰角为0.02236弧度（约等于1.3°），此时升降舵偏角为-0.076弧度（上偏约4.4°），此时让升降舵再上偏2°，即状态空间模型的升降舵输入为-2°（-0.035弧度），然后就可以计算状态量的变化情况，计算得出1s后俯仰角的增量为0.08478弧度（4.858°），则此时实际俯仰角为6.158°

使用simulink可以简单的进行计算：

注意输入及输出的维数
简单模拟时可将C设置为单位阵，D设置为0矩阵，初始状态设置为0

所以现在可以用状态空间模型对飞机运动进行简单的仿真，只要有输入，就能计算出速度、欧拉角等的变化。使用升降舵方波输入验证完整的仿真模型和状态空间模型的结果差异：

其中黄线是完整仿真模型的结果，蓝线是状态空间模型的结果

Vu
Vw
q
Theta
V
alpha

可见在几秒内两者的仿真结果几乎是一致的，所以状态空间模型短时间内的模拟结果是可信可用的。除了能简单对飞机动态进行模拟，状态空间模型最重要的特点是他能直观表达飞机特性。

模态分析

在《大型搞机教程（3）》和《大型搞机教程（4）》中，分别阐述了飞机纵向的2种模态和横航向的3种模态，但只是直接给出了表示模态特性的极点分布图，极点位置如何计算并未说明，这里就可以直接说明：状态矩阵A的特征值就是表征飞机模态特性的极点，这也是为什么说A阵描述了飞机的运动特性。以纵向为例，MATLAB中eig函数可以算出矩阵特征值，而damp函数不仅能算出特征值，还可以直接列出模态的阻尼比、频率、时间常数：

那么就会出现一个问题，如果当前飞机本体的模态特性，比如频率、阻尼比不是我们期望的怎么办。

答案是可以使用状态反馈的方法调整飞机整体的模态特性。

状态反馈

设计如图所示控制律，状态X与系数矩阵K相乘后，以负反馈形式与原输入叠加。即新的输入等于：

代入状态空间模型得状态X的变化由下式给出：

之前说过，A矩阵表征了飞机动态响应，那上式就表明使用状态反馈控制律后的飞机的A矩阵变为(A-BK)，即可以通过状态反馈改变飞机的动态响应，这表明了控制律对飞机产生的影响。通过改变K矩阵，实现改变(A-BK)矩阵的特征值，进而实现对飞机模态特性的大范围的改变。

举个例子：

原机、K=[0 0 0 0;0 0 0.2 0]、K=[0 0 0 0;0 0 -0.5 0]三种情况的升降舵脉冲输入下的俯仰角响应为（依次对应曲线1、2、3）

可见，使用状态反馈可以增强或减弱飞机稳定性，原机为曲线1，曲线2稳定性被减弱至负，已经开始发散，曲线3稳定性增强，比原机收敛更快。

这个例子实际只用到了俯仰角速率反馈，也就是更改了飞机阻尼比，与早期飞机阻尼器系统原理相同。反馈迎角可以实现飞机频率更改，充分使用K矩阵可以实现更加细腻的飞机动态特性调整。

在之前的文章中，说明了为了将飞机模态特性调整到合适范围，需要对平垂尾面积、力臂、全机转动惯量等进行细致而反复的调整，比较费时费力。本文介绍了一种使用控制律调整飞机模态特性的方法，相对来说就简单方便了很多，这也是所谓随控布局的理念，即在设计初期就充分考虑控制系统带来的便利，将飞控的设计融入到外形、动力、结构设计中去。